Baricentro di un veicolo: cos’è e come si trova.

Introduzione

Su gentile suggerimento di qualche lettore del blog, in questo articolo vedremo cos’è il baricentro di un veicolo ed illustrerò un metodo pratico per individuarne la posizione.
Innanzitutto, è bene chiarire una cosa: nell’ambito della meccanica del veicolo, i concetti di baricentro, centro di massa e centro di gravità sono a tutti gli effetti coincidenti. Dimostrerò tale affermazione nel corso del primo paragrafo dell’articolo. Pertanto, nel caso in cui non avessi tempo o voglia da dedicare alla lettura di qualche elucubrazione concettuale, ti consiglio di passare direttamente al paragrafo “Come determinare la posizione del baricentro di un veicolo”.

Definizione di baricentro

In primo luogo, parlando di baricentro, è possibile distinguere tra baricentro geometrico e baricentro fisico. Ovviamente, qualunque oggetto del mondo in cui viviamo ha una massa, quindi in meccanica non abbiamo interesse a prendere in considerazione il baricentro geometrico. Tuttavia, per chiarezza di trattazione, partirò proprio dalla definizione matematica di baricentro geometrico, per poi modificarla ed ottenere quella di centro di massa e baricentro fisico.
In secondo luogo, affinché le definizioni risultino di più semplice comprensione, mi riferirò a sistemi discreti, cioè considererò i corpi come insiemi di tante piccole masse (tutto ciò semplicemente per utilizzare somme al posto di integrali, ma i concetti sono perfettamente equivalenti).
Il baricentro geometrico (G_geo) di una certa figura geometrica composta da n punti è il punto medio di tutti i punti della figura. Esprimendo il concetto con una relazione matematica abbiamo:

x_i, y_i e z_i sono le coordinate spaziali dell’i-esimo punto, mentre n è il numero totale di punti del sistema. x_Ggeo, y_Ggeo e z_Ggeo sono le coordinate del baricentro geometrico. Per chi non è molto pratico con le espressioni matematiche, il simbolo Σ indica una somma e specifica che vado a sommare tutti gli n punti del sistema (dal primo all’n-esimo punto).
Con un semplice esempio, l’espressione (1) risulterà di immediata comprensione.
Siano A, B e C tre punti nello spazio individuati dalle seguenti coordinate:

Per individuare il baricentro geometrico dei tre punti basta fare la media delle coordinate dei punti nelle tre dimensioni applicando la formula (1):

Quindi, il baricentro geometrico dei punti A, B e C ha le seguenti coordinate:

Come ho già detto nell’introduzione, ogni cosa che ci circonda ha una massa, quindi, se aggiungiamo una massa a ciascun punto della relazione (1), otteniamo la definizione di centro di massa (C_massa):

m_TOT è la massa totale del sistema, data dalla somma delle n masse. Anche in questo caso facciamo un esempio numerico. Siano m_A= 1 kg, m_B = 10 kg e m_C = 4 kg tre masse puntiformi poste nei punti A, B e C menzionati nell’esempio precedente. Utilizziamo la relazione (2) per determinare il centro di massa del sistema.

Definiti i concetti di baricentro geometrico e centro di massa, finalmente enunciamo il concetto di baricentro fisico (G). Esso è quel punto nel quale possiamo considerare applicata la forza peso totale di un sistema materiale (sia esso un corpo o un insieme di corpi).
A questa definizione possiamo facilmente associare anche il concetto centro di gravità, il quale, come dice il nome stesso, non è altro che il punto in cui possiamo considerare applicata la forza di gravità agente sull’intero sistema. Dato che la forza peso di un corpo è pari al prodotto mg della sua massa m per l’accelerazione di gravità g, possiamo enunciare la definizione matematica di baricentro G a partire dalla precedente espressione (2) del centro di massa: basta moltiplicare ciascuna massa m_i per l’accelerazione di gravità g_i  a cui essa è soggetta.

L’accelerazione di gravità g a cui è soggetto un corpo può essere ottenuta dalla legge di gravitazione universale:

in cui G è la costante di gravitazione universale (vale 6,67·10^-11 Nm²/kg²), m_T è la massa della Terra, r è la distanza tra il corpo ed il centro della Terra. Dato che nella formula (4) compare la distanza dal centro della Terra, l’accelerazione di gravità a cui è soggetto un corpo sulla superficie terrestre varia:

• in funzione della latitudine, da un valore di circa 9,79 m/s² in corrispondenza dell’Equatore a circa 9,86 m/s² ai Poli;
• in funzione della quota, da un valore di circa 9,79 m/s² sulla cima dell’Everest ad un valore di circa 9,85 m/s²nella fossa delle Marianne.

Come si può notare, a grandi variazioni di distanza dal centro della Terra corrispondono piccole variazioni dell’accelerazione di gravità. Per tale ragione, per questioni rientranti nel campo della meccanica classica, si considera un valore medio di 9,806 m/s² per tutti i corpi presenti sulla superficie terrestre.
Dato che la porzione di spazio occupata da un veicolo, per quanto esso possa essere grande, è comunque molto limitata, tutti i punti del veicolo sono soggetti alla stessa accelerazione di gravità, quindi g_i = g_G= g.
Sulla base di queste considerazioni, la definizione (3) di baricentro diventa perfettamente equivalente alla definizione (2) di centro di massa.
In tal modo abbiamo dimostrato l’equivalenza dei concetti di centro di massa, baricentro e centro di gravità nell’ambito della meccanica del veicolo. D’ora in poi, ogni volta che scriverò la parola baricentro mi riferirò sempre al baricentro fisico, in quanto abbiamo sempre a che fare con sistemi materiali, cioè dotati di massa.

Come determinare la posizione del baricentro di un veicolo

Esistono vari metodi per determinare la posizione del baricentro di un autoveicolo: alcuni richiedono pochi strumenti, altri si basano sull’impiego di veri e propri impianti di prova. In ogni caso, bisogna prestare particolare attenzione soprattutto nel misurare l’altezza del baricentro poiché si può incorrere in errori non trascurabili.
Una delle procedure più comuni e più semplici da attuare è forse quella basata sulla pesatura delle singole ruote.
Innanzitutto, occorre definire un sistema di riferimento rispetto al quale determinare le coordinate del baricentro. In fig. 1 ho fissato il centro O del sistema di riferimento nel centro dell’orma di contatto dello pneumatico posteriore destro. Gli assi cartesiani x, y e z sono orientati come illustrato dalle frecce.

Allo scopo di determinare le coordinate x_G e y_G del baricentro bisogna posizionare il veicolo in piano e determinare, attraverso bilance pesaruota, i carichi verticali Q_ad, Q_as, Q_pd e Q_ps agenti sulle singole ruote.
Il significato che ho assegnato ai pedici è il seguente:

• a: anteriore;
• p: posteriore;
• d: destra;
• s: sinistra.

Dopodiché, osservando le figure 2 e 3, basta applicare le equazioni di equilibrio e ricavare le incognite cercate.

dove

Q_a: carico verticale sull’asse anteriore (= Q_ad + Q_as);
P: peso totale del veicolo (= m_tot ∙g, in cui g è l’accelerazione di gravità);
m_tot : massa totale del veicolo;
m_a : massa asse anteriore (= m_ad + m_as);
l: passo del veicolo.

dove

Q_s: carico verticale sul lato sinistro del veicolo (= Q_as + Q_ps);
P: peso totale del veicolo (= m_tot ∙g, in cui g è l’accelerazione di gravità);
m_tot : massa totale del veicolo;
m_s : massa lato sinistro del veicolo (= m_as + m_ps);
t: carreggiata del veicolo (misurata tra i centri dei battistrada destro e sinistro).

Rilevando la ripartizione del carico sulle singole ruote, le formule (5) e (6) ci consentono di determinare la posizione del baricentro G sul piano xy.
A questo punto arriva la parte più delicata: individuare l’altezza del baricentro. Per identificare la quota z_G occorre eseguire un’operazione di pesatura con il veicolo inclinato ed applicare l’equazione di equilibrio alla rotazione (si osservino la fig. 4 e le formule seguenti).

dove

Q_ai : carico verticale sull’asse anteriore sollevato;
P: peso totale del veicolo (= m_tot ∙g, in cui g è l’accelerazione di gravità);
m_ai : massa asse anteriore sollevato (Q_ai = m_ai ∙g);
h: altezza a cui viene sollevato l’asse anteriore (di norma si fa in modo che h sia pari a circa il 30% del passo del veicolo);
x_G : posizione longitudinale del baricentro (ottenuta con la formula 5);
l : passo del veicolo;
r : raggio esterno dello pneumatico.

Di solito, si esegue la medesima procedura girando il veicolo (nel nostro caso sollevando l’asse posteriore) e si calcola z_G come media dei risultati ottenuti.
Naturalmente, inclinando il veicolo si assiste alla deformazione di molle e pneumatici a causa del trasferimento di carico. Pertanto, al fine di ridurre l’errore di misura, prima di inclinare il veicolo è bene bloccare le sospensioni nella posizione che assumono quando il mezzo è in piano. Per quanto riguarda gli pneumatici, avendo essi una rigidezza verticale notevolmente superiore rispetto a quella delle sospensioni, non serve adottare particolari accorgimenti. Al massimo, si può aumentare la pressione di gonfiaggio degli pneumatici non sollevati, onde compensarne la deflessione.

Oltre al metodo illustrato, ci sono anche altri modi per determinare la posizione del baricentro. Uno di questi consiste nel sospendere il veicolo mediante delle funi ed osservare come esso si posiziona: il baricentro si trova sulla verticale passante per il gancio di sollevamento (fig. 5).

Altre procedure si basano, invece, sull’impiego di impianti specifici, come la tilt table del Centro Polifunzionale di Sperimentazione dell’Esercito (fig. 6) o la piattaforma di cui dispone il TARDEC statunitense (fig. 7). Quest’ultimo impianto consente anche di determinare i momenti d’inerzia dei veicoli.

Infine, esiste la possibilità di stimare la posizione del baricentro in tempo reale durante la marcia di un veicolo, equipaggiandolo con determinati sensori ed elaborando i dati acquisiti in maniera appropriata.

In questo articolo abbiamo visto cos’è il baricentro e come si può individuare nella pratica. Cliccando qui potrai invece capire come la posizione del baricentro influisce sulla dinamica del veicolo.

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